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一份初一数学竞赛试题
2009-10-22
一. 选择题（每小题5分，共50分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内。
1. 数a的任意正奇数次幂都等于a的相反数，则（ ）
A. B. C. D. 不存在这样的a值
2. 如图所示，在数轴上有六个点，且 ，则与点C所表示的数最接近的整数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
（根据深圳市南山区蛇口中学王远征供题改编）
3. 我国古代伟大的数学家祖冲之在1500年以前就已经相当精确地算出圆周率 是在3.1415926和3.1415927之间，并取 为密率、 为约率，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知x和y满足 ，则当 时，代数式 的值是（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. 两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是（ ）
A. 273 B. 819 C. 1911 D. 3549
6. 用一根长为a米的线围成一个等边三角形，测知这个等边三角形的面积为b平方米。现在这个等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边距离之和为（ ）米
A. B. C. D.
7. If we let
be the greatest prime number not more than a ,then the result of the expression <<3>×<25>×<30>> is （ ）
A. 1333 B. 1999 C. 2001 D. 2249
（英汉词典：greatest prime number最大的质数；result结果；expression表达式）
8. 古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸。地支也有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列成如下两行：
甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸……
子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……
从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，则当第2次甲和子在同一列时，该列的序号是（ ）
A. 31 B. 61 C. 91 D. 121
9. 满足 的有理数a和b，一定不满足的关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知有如下一组x，y和z的单项式：
，
我们用下面的方法确定它们的先后次序；对任两个单项式，先看x的幂次，规定x幂次高的单项式排在x幂次低的单项式的前面；再看y的幂次，规定y的幂次高的排在y的幂次低的前面；再看的z幂次，规定的z幂次高的排在z的幂次低的前面。
将这组单项式按上述法则排序，那么， 应排在（ ）
A. 第2位 B. 第4位 C. 第6位 D. 第8位
二. 填空题（每小题6分，共60分）
11. 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，则这个锐角的度数___________。
12. If ，then result of is ________。
13. 已知：如图1， 中，D、E、F、G均为BC边上的点，且 ， ， 。若 1，则图中所有三角形的面积之和为_____。
14. 使关于x的方程 同时有一个正根和一个负根的整数a的值是______。
15. 小明的哥哥过生日时，妈妈送了他一件礼物：即三年后可以支取3000元的教育储蓄。小明知道这笔储蓄年利率是3％（按复利计算），则小明妈妈为这件生日礼物在银行至少要存储________元。（银行按整数元办理存储）
16. m为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，即x，y均为整数，则 __________。
17. 已知：如图2，长方形ABCD中，F是CD的中点， ， 。若长方形的面积是300平方米，则阴影部分的面积等于____平方米。
18. 一幅图象可以看成由m行n列个小正方形构成的大矩形，其中每个小正方形称为一个点，每个点的颜色是若干个颜色中的一个，给定了m，n以及每个点的颜色就确定了一幅图象。现在，用一个字节可以存放两个点的颜色。那么当m和n都是奇数时，至少需要_____个字节存放这幅图象的所有点的颜色。
19. 在正整数中，不能写成三个不相等的合数之和的最大奇数是_____________。
20. 在密码学中，称直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。对于英文，人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25，现有4个字母构成的密码单词，记4个字母对应的数字分别为 ，已知：整数 ， ， ， 除以26的余数分别为9，16，23，12，则密码的单词是_________。
三. 解答题（21、22题各13分，23题14分，共40分）要求：写出推算过程。
21. 有依次排列的3个数：3，9，8，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9， ，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，3，6，3，9， ， ，9，8，继续依次操作下去，问：从数串3，9，8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？
22. 如图3， 。证明：
23. 一玩具工厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位。生产一个小熊要使用15个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫要使用10个工时、5个单位的原料，售价为45元。在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊、小猫的个数，可以使小熊和小猫的总售价尽可能高。请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元？
〖答案〗
一. 选择题：
1. A 2. C 3. C 4. D 5. B
6. C 7. B 8. B 9. A 10. D
二. 填空题（本大题共60分。对于每个小题，答对，得6分；答错或不答，不给分）
11. 12. 12 13. 7 14. 0
15. 2746 16. 4 17. 137.5 18.
19. 17 20. hope
三. 解答题：
21. 一个依次排列的n个数组成一个n一数串： ，
依题设操作方法可得新增的数为：
所以，新增数之和为：
原数串为3个数：3，9，8
第1次操作后所得数串为：3，6，9， ，8
根据（*）可知，新增2项之和为：
第2次操作后所得数串为：
3，3，6，3，9， ， ，9，8
根据（*）可知，新增2项之和为：
按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：
22. 证法1：因为 ，
所以 （两直线平行，同旁内角互补）
过C作 （如图1）
因为 ，所以 （平行于同一条直线的两条直线平行）
因为 ，有 ，（两直线平行，内错角相等）
又因为 ，有 ，（两直线平行，内错角相等）
所以 （周角定义）
所以 （等量代换）
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