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新疆维吾尔自治区2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项:

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集，集合，则（    ）

A.  B.  C.  D. 

2. 设，则（    ）

A.  B.  C.  D. 

3. 已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D. 

4. 函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A. 和 B. 和2 C. 和 D. 和2

5. 若满足约束条件则的最小值为（    ）

A. 18 B. 10 C. 6 D. 4

6. （    ）

A.  B.  C.  D. 

7. 在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A.  B.  C.  D. 

8. 下列函数中最小值为4的是（    ）

A.  B. 

C.  D. 

9. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D. 

10. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A.  B.  C.  D. 

11. 设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

12. 设，若为函数极大值点，则（    ）

A.  B.  C.  D. 

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知向量，若，则_________．

14. 双曲线的右焦点到直线的距离为________．

15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．

16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

19. 设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和前n项和．证明：．

20. 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

21. 已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

[选修4—5:不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．